一次方程式と連立方程式の解法を学ぶ【電気数学のすゝめ16】

電験取得のための第一歩

2025.03.28

2024年12月25日

16限目　一次方程式と連立方程式

先生　前回は平方根の有理化と虚数について学習したね。しっかり復習したかな？
生徒　はい、ちゃんと復習しているのでカンペキです！
先生　それなら、今回のテーマである「方程式」は簡単にこなせちゃうかもね。
生徒　方程式、ですか？
先生　うん。例えば「1個50円のリンゴを4個、1個500円のパイナップルをいくつか買ったところ、合計金額が1200円になりました。パイナップルはいくつ買ったでしょうか」という問題があったら、どんな式をたてるかな？
生徒　パイナップルを買った数がわからないから、この個数を文字に置き換えて考えるしかないな。パイナップルの数をx個とすると「50×4＋500×x＝1200、200＋500x＝1200」という式をたてます。
先生　そうだね。この式のように、個数や値のわからない文字を含む等式を方程式というんだ。等式は「＝（イコール）」を使って数量の関係を表した式のことで、性質を黒板にまとめておくから覚えておこう。

生徒　方程式はわかったけど、どうやって解けばいいんですか？
先生　式を「x＝」の形に変形すればいいんだ。早速、等式の性質を使ってやってみよう。
生徒　「200＋500x＝1200」は、まず、200がジャマだから等式の性質②を使って200を消そう。両辺から200をひくと「200－200＋500x＝1200－200、500x＝1000」となって、あとは等式④を使って500を消せば「x＝」の形になるか。両辺を500でわると「500x÷500＝1000÷500、x＝2」となって、パイナップルが2個とわかる！
先生　正解！　計算してみて、少し手間がかかると思わなかった？
生徒　両辺でたしたり、ひいたりして式に書いていると、少し混乱してきます。
先生　そうだよね。そこで、移項という方法を使うとスマートに計算できるんだ。
生徒　どんな方法ですか？
先生　さっきの方程式を例にやってみようか。一般に、左辺に値のわからない文字（未知数）、右辺に値がわかっている数（既知数）という配置に変形するんだ。「200＋500x＝1200、500x＝1200－200、500x＝1000、x＝ $\frac{1000}{500}$ ＝2」というように、移項を使うとシンプルに計算できるんだよ。注意点は移項をすると符号が変わるということ。まずは、練習問題で方程式に慣れてみよう。

練習問題
　次の方程式を解け。
（1）x＋4＝16 （2）4x＝16 （3）6x＋7＝4 （4） $\frac{a}{3}$ －1＝2
（5） $\frac{8}{3 y + 1}$ ＝2 （6） $\frac{10 - x}{6}$ ＝3x＋5 （7）0.05x＋2.7＝6 （8）0.03－10（x＋0.093）＝1

答
（1）x＋4＝16、x＝16－4＝12
（2）4x＝16、x＝ $\frac{16}{4}$ ＝4
（3）6x＋7＝4、6x＝4－7＝－3、x＝－ $\frac{3}{6}$ ＝－ $\frac{1}{2}$
（4） $\frac{a}{3}$ －1＝2、 $\frac{a}{3}$ ＝2＋1＝3、a＝3×3＝9
（5） $\frac{8}{3 y + 1}$ ＝2、 $\frac{8}{3 y + 1}$ ×（3y＋1）＝2×（3y＋1）、8＝6y＋2、6y＝8－2＝6、y＝ $\frac{6}{6}$ ＝1
（6） $\frac{10 - x}{6}$ ＝3x＋5、 $\frac{10 - x}{6}$ ×6＝（3x＋5）×6、10－x＝18x＋30、－x－18x＝30－10、－19x＝20、x＝－ $\frac{20}{19}$
（7）0.05x＋2.7＝6、5x＋270＝600、5x＝600－270＝330、x＝ $\frac{330}{5}$ ＝66
（8）0.03－10（x＋0.093）＝1、0.03－10x－0.93＝1、－10x－0.9＝1、－10x＝1＋0.9＝1.9、x＝－0.19

先生　うん、基礎は理解できているみたいだから、ここからは応用に入っていこう。未知数が2つの場合を考えてみるよ。
生徒　2つ、ですか？
先生　うん。未知数が2つの場合は連立方程式というんだ。2つの式が上下に並んだ形、みたことないかな？
x＋y＝2
x－y＝10
生徒　う～ん、どうやって解くんだろう……。
先生　この連立方程式を解くには加減法と代入法を使うんだ。
生徒　名前から想像すると、加減法は2つの式をたしたり、ひいたりして解く方法で、代入法は一方の式に、もう一方の式を入れて解く方法？
先生　そう、そんな感覚だよ。まず、加減法から取り組んでみよう。
x＋y＝2……①
x－y＝10……②
　①と②をみたとき、この2つの式をたすとyが消えるのはわかるよね。
生徒　はい、消えます！
　x＋y＝2
+)x－y＝10
　　2x＝12
　あっ、両辺を2でわればxの値がわかる！　「x＝6」だ。あとはyの値だけど……。
先生　「x＝6」なんだから、①のxに6を代入してみればいいんだよ。
生徒　そうか！　①に代入すると「6＋y＝2、y＝2－6＝－4」です。
先生　うん、そうだね。せっかくだから、①に答を代入して、合っているか確認してみようか。
生徒　答は「x＝6、y＝－4」だから、②に代入して「x－y＝6－（－4）＝10」となって②を満たしています。
先生　答が合っているか、しっかりチェックするクセをつけておきたいね。
生徒　じゃあ、代入法で解くとなると、どうやればいいんですか？
先生　いつもより積極的だね。さっき言ったように、一方の式に、もう一方の式を代入するんだ。まず、①を「y＝」の形に変形してみようか。
生徒　xを右辺に移項すると「x＋y＝2、y＝2－x」となるから、これを②に代入するとxだけの式になります！　「x－（2－x）＝10、x－2＋x＝10、2x＝10＋2＝12、x＝6」でxが求められました。あとは加減法と同じように一方の式に「x＝6」を代入してyを求めればいいんですね。
先生　うん、そういうことだ。
生徒　式が2つあると最初はビックリするけど、解法がわかるとカンタンです！
先生　式をみて、加減法か代入法か、すぐにわかるようになるとカンペキだよ。早速だけど、この連立方程式は加減法と代入法、どっちで解く？
3x＋6y＝6……①
2x＋5y＝6……②
生徒　xとyの係数が2つの式で違うから加減法は使えないか。代入法なのかな……。でも「y＝」の式に変形すると分数になって計算が複雑になりそうだな。
先生　うん、代入法にすると分数の計算になるから複雑になるよね。この場合は加減法を使うんだ。xかy、どちらかの係数を同じ値にしてみてよ。
生徒　係数を同じ値か……。①に2、②に3をかけるとxの係数が「6」になります。
①×2　6x＋12y＝12
②×3　6x＋15y＝18
先生　あとは加減法で解けるよね。ここでの注意点は必ず両辺に数をかけること。xだけにかけて係数を同じにしてもダメなんだ。
生徒　はい、注意します！　実際に解いてみます。
　6x＋12y＝12
+)6x＋15y＝18
　　　－3y＝－6
　　　　　y＝2
　①に「y＝2」を代入して「3x＋6×2＝6、3x＋12＝6、3x＝6－12＝－6、x＝－2」となるから、答は「x＝－2、y＝2」です。確認のために②に代入してみると「2×（－2）＋5×2＝（－4）＋10＝6」となるから、うん、合っている！
先生　ここまでこなせれば、連立方程式マスターまで、あと一歩だ。
生徒　えっ、まだあるんですか？
先生　問題によっては未知数が3つのときもあるからね。ここまでは解けるようにしておきたいよね。
2x－3y－3z＝8　 ……①
－x＋3y＋2z＝－10……②
3x－6y－3z＝12　 ……③
生徒　未知数を1つ消しても、2つは残るから解答できない……。
先生　それじゃあ、まずは未知数を1つ消すことから始めてみようか。落ち着いて取り組めば必ず解けるよ。
生徒　う～ん。それなら、①と②で加減法を使ってyが消えます。
2x－3y－3z＝8
－x＋3y＋2z＝－10
　　　　x－z＝－2……④
　でも、これだとxとzが残るから答が出ませんよ。もう1つ、xとzの式が必要になります。
先生　うん。①と②でyを消したように、今度は②と③でyを消すと、どうなるかな？
生徒　そうか！　②と③の加減法でxとzの式をつくればいいんだ。
－2x＋6y＋4z＝－20（②×2）
　3x－6y－3z＝12
　　　　x＋z＝－8……⑤
　これで④と⑤の連立方程式を解けばxとzの値が求められます！
x－z＝－2……④
x＋z＝－8……⑤
　④＋⑤から「2x＝－10、x＝－5」で、これを④に代入すると「（－5）－z＝－2、－z＝－2＋5＝3、z＝－3」となって、x＝－5とz＝－3を②に代入して「－（－5）＋3y＋2×（－3）＝－10、5＋3y－6＝－10、3y＝－10－5＋6＝－9、y＝－3」でyが求まりました！　答は「x＝－5、y＝－3、z＝－3」です。
先生　正解だ！　未知数が3つある複雑な問題も、しっかり解答できるようになったね。それじゃあ、練習問題に取り組んで今回は終わりにしよう。
生徒　は～い、ありがとうございました！

練習問題
　次の連立方程式を解け。
（1）
　x＝5－y
　2x－3y＝0

（2）
　x＋2y＝2
　9x＋13y＝3

（3）
　15x＋5y＝5
　 3x＋4y＝－14

（4）
　7x＋3y＝1
　5x＋2y＝1

（5）
　x＋y＝1
　y＋z＝2
　x＋z＝5

答
（1）
x＝5－y……①
2x－3y＝0……②
　②を①に代入すると「2（5－y）－3y＝0、10－2y－3y＝0、－5y＝－10、y＝2」となり、これを①に代入して「x＝5－2＝3」と求めることができる。
答 x＝3、y＝2

（2）
x＋2y＝2……①
9x＋13y＝3……②
　①より「x＝2－2y」と求められることから、これを②に代入すると「9（2－2y）＋13y＝3、18－18y＋13y＝3、－5y＝3－18＝－15、y＝3」となり、これを「x＝2－2y」に代入して「x＝2－2×3＝－4」と求めることができる。
答 x＝－4、y＝3

（3）
15x＋5y＝5　 ……①
3x＋4y＝－14……②
　「②×5＝15x＋20y＝－70……③」から、①－③でxを消す。
15x＋5y＝5
15x＋20y＝－70
　　－15y＝75
　ここから「y＝－5」が得られる。これを②に代入して「3x＋4×（－5）＝－14、3x－20＝－14、3x＝－14＋20＝6、x＝2」と求めることができる。
答 x＝2、y＝－5

（4）
7x＋3y＝1……①
5x＋2y＝1……②
　「①×2＝14x＋6y＝2……③、②×3＝15x＋6y＝3……④」から、③－④でyを消す。
14x＋6y＝2
15x＋6y＝3
　　－x＝－1
　ここから「x＝1」が得られる。これを②に代入して「5×1＋2y＝1、2y＝1－5＝－4、y＝－2」と求めることができる。
答 x＝1、y＝－2

（5）
　x＋y＝1……①
　y＋z＝2……②
　x＋z＝5……③
　②より「y＝2－z」が得られ、これを①に代入して「x＋2－z＝1、x－z＝1－2＝－1……⑤」と導くことができる。ここから③＋⑤でzを消す。
　x＋z＝5
　x－z＝－1
　　2x＝4
　ここから「x＝2」が得られる。これを③に代入すると「2＋z＝5、z＝5－2＝3」となり、②に代入して「y＋3＝2、y＝2－3＝－1」と求めることができる。
答 x＝2、y＝－1、z＝3