二次関数を習得する【電気数学のすゝめ20】

電験取得のための第一歩

2025.10.06

20限目
二次関数

先生　前回は一次関数y＝ax＋bと連立方程式の関係を取り上げたね。
生徒　はい。グラフの交点が連立方程式の解になるんですよね。
先生　うん、しっかりマスターしているね。それでは、次のテーマに入ろう。今回は二次関数だ。

先生　まずは基本的な二次関数から始めるけど、黒板の図をみて何か気がつくことはあるかな？
生徒　う～ん、グラフが曲線になっている……!?
先生　そうだね。二次以上の関数は曲線のグラフになるんだ。この二次関数は「放物線」といって、物体を放り投げたときに描く軌跡が放物線になるから、そのまま「放物線」と呼ぶんだよ。ほかには？
生徒　a＞0とa＜0で上下が逆になっています。
先生　うん、正解。a＞0のグラフを「下に凸」、a＜0のグラフを「上に凸」と表現するんだ。よく使うから、覚えておこう。
生徒　はい。

先生　黒板にあるように、二次関数もグラフ同士の交点と連立方程式の解は関係があるんだ。
生徒　交点の座標が方程式の解になるんですよね。
先生　そうなんだけど、二次関数で重要なのは、二次方程式だから解は2つあるということだ。つまり、交点も2つになるんだよ。
生徒　グラフにすると、解が2つあることが一目瞭然ですね。
先生　グラフのメリットは「解のみえる化」ができることなんだ。よし、ここで練習問題に取り組んでみよう。

練習問題
　次の関数のグラフを描き、交点を求めなさい。
（1）y＝x²とy＝－5x－6
（2）y＝x²とy＝4x－3
（3）y＝－x²とy＝4x＋4
（4）y＝x²とy＝2x－3

答
（1）グラフは図1に示す。交点は以下の連立方程式より求める。
　　y＝x²　……①
　　y＝－5x－6……②
　①－②より「0＝x²＋5x＋6」となり、この二次方程式を解くと「x²＋5x＋6＝（x＋3）（x＋2）＝0」から「x＝－2、－3」と求めることができる。
　ここから「x＝－2のときy＝（－2）²＝4、x＝－3のときy＝（－3）²＝9」となり、したがって、それぞれ交点は（－2,4）（－3,9）となる。

（2）グラフは図2に示す。交点は以下の連立方程式より求める。
　　y＝x²　……③
　　y＝4x－3……④
　③－④より「0＝x²－4x＋3」となり、この二次方程式を解くと「x²－4x＋3＝（x－3）（x－1）＝0」から「x＝3、1」と求めることができる。
　ここから「x＝3のときy＝3²＝9、x＝1のときy＝1²＝1」となり、したがって、それぞれ交点は（3,9）（1,1）となる。

（3）グラフは図3に示す。交点は以下の連立方程式より求める。
　　y＝－x²　……⑤
　　y＝4x＋4……⑥
　⑤－⑥より「0＝－x²－4x－4＝x²＋4x＋4」となり、この二次方程式を解くと「x²＋4x＋4＝（x＋2）²＝0」から「x＝－2」と求めることができる。
　ここから「x＝－2のときy＝－（－2）²＝－4」となり、したがって、交点は（－2,－4）となる。

（4）グラフは図4に示す。交点は以下の連立方程式より求める。
　　y＝x²　……⑦
　　y＝2x－3……⑧
　⑦－⑧より「0＝x²－2x＋3」となり、この二次方程式を解の公式（x＝ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ）を用いて解くと「x＝1±√－2＝1±j√2」と求めることができる。
　図4のグラフからもわかるように、解が虚数を含む複素数のときは実数の交点は存在しない。したがって、交点はない。

先生　しっかり解けたかな？
生徒　問題（4）は悩みましたけど、ほかの3問はバッチリです！　グラフにすると二次方程式が2つの解を持つことがわかりますね。
先生　うん、そういうことだ。問題（4）は解に虚数が含まれる場合で、解説していなかったけど、実数解がないからグラフは交点を持たないんだよ。
生徒　それを先に言ってほしかったです。
先生　まあまあ、グラフが描ければ交点がないことはわかるから、それができていればOKだよ。
生徒　は～い。

先生　一次関数と同様に、二次関数も平行移動を考えることができるんだ。まずはy軸方向の平行移動で、これは単純に「＋q」をするだけ。qの符号がプラスならy＝ax²はqだけ上に平行移動して、マイナスなら下に平行移動するというものなんだ。
生徒　一次関数のときと同じですね。
先生　うん、そういうこと。簡単でしょう？　次はx軸方向への平行移動を考えてみよう。

先生　y軸方向の平行移動とは少し違うでしょう。
生徒　はい、少し複雑になったような……。
先生　一般に、平行移動は「xを（x－p）に置き換える」と考えるんだ。例えば、y＝2x²をx軸方向に1だけ平行移動した場合の式は「xを（x－1）に置き換える」からy＝2（x－1）²となるんだよ。
生徒　あれ？　この考え方はy軸方向の平行移動にはあてはまらない……。x軸とy軸では方法が違うんですね。
先生　そう思うでしょう。じゃあ、y＝ax²＋qを（y－q）＝ax²と変換するとわかりやすいかな。「yを（y－q）に置き換える」とy＝ax²をy軸方向にqだけ平行移動しているでしょう？
生徒　そうか、qを左辺に移項するのか！
先生　うん、そういうこと。これでx軸方向にもy軸方向にも平行移動できることがわかったよね。ちなみに「y＝a（x－p）²＋q」の座標（p, q）が頂点になるんだ。さて、練習問題で確認してみようか。
生徒　はい。

練習問題
　次の関数の式を求めてグラフを描きなさい。また、頂点の座標を求めなさい。
（1）y＝2x²をx軸方向に3、y軸方向に－4だけ平行移動した関数
（2）y＝－3x²をx軸方向に－1、y軸方向に2だけ平行移動した関数

答
（1）関数の式はy＝2（x－3）²－4となり、グラフは図1、頂点の座標は（3,－4）となる。

（2）関数の式はy＝－3｛x－（－1）｝²＋2＝－3（x＋1）²＋2となり、グラフは図2、頂点の座標は（－1,2）となる。

先生　ところで、平方完成は覚えている？
生徒　二次方程式でやった「ムリやり（x＋a）²をつくる技」ですよね？
先生　うん。例えば「2x²＋4x＋6」を平方完成すると、どうなるかな？
生徒　「2x²＋4x＋6＝2（x²＋2x）＋6＝2（x＋1）²－2＋6＝2（x＋1）²＋4」となります。
先生　うん、OKだ。二次関数2x²＋4x＋6を平方完成してy＝2（x＋1）²＋4になった。このように変換すると何ができるかな？
生徒　二次関数のグラフが描けます！
先生　うん、正解。それでは練習問題に取り組んで今回は終わりにしよう。
生徒　はい、ありがとうございました！