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電験取得のための分数の四則演算その2【電気数学のすゝめ3】

電験取得のための第一歩

2023.09.22

3限目　分数の四則演算その2

MathMagic Equation – www.mathmagic.com

先生　前回の授業では分数のたし算、ひき算までやったよね。覚えている？生徒　約分と通分ですよね。少し大変でした。でも、しっかりできるようになりました。先生　うん。そうしたら、今回は分数のかけ算、わり算に取り組んでみよう。たし算、ひき算を理解したなら、もっと簡単にできるよ。まずは、かけ算。これはシンプルに分母、分子同士をかけるだけ。通分は必要ないけど、約分は考えないといけないんだ。 ①の例でみると、

\frac{1 \times 2}{6 \times 3}

の部分で約分すると簡単だね。
生徒　そうすると、2で約分できるから、

\frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{6 \times 3} = \frac{1 \times 1}{3 \times 3} = \frac{1}{9}

だ！
先生　正解！　じゃあ、かけ算を理解したら、次はわり算にいこう。わり算は少し注意しなければならないポイントがあるんだ。わる数の分母と分子を入れ替えてかけ算をするんだ。
生徒　入れ替える、ですか……。
先生　②の例でやってみよう。

\frac{1}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{6 \times 2} = \frac{1 \times 1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}

生徒　そのままわり算をするんじゃなくて、分母と分子を入れ替えてかけ算をするということを忘れないようにしないといけないですね。
先生　さて、これまで分数同士の計算をしてきたけど、整数でわる場合はどうすればいいと思う？
生徒　えっと、入れ替えるといっても分母も分子もないし……。
先生　そうだね。整数は分母も分子もないよね。でも、整数も分数で表すことができるんだよ。
生徒　えっ、どうするんですか？
先生　整数は1を分母にすると分数にすることができるんだ。例えば、5は

\frac{5}{1}

となるね。こうすれば分数と整数のわり算も解けるよ。③の例にある

\frac{5}{6} \div 5

をやってみようか。
生徒　まず、5を分数にすると、

\frac{5}{6} \div 5 = \frac{5}{6} \div \frac{5}{1}

となります。そして、分母と分子を入れ替えてかけ算をすると、

\frac{5}{6} \div \frac{5}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{5}

となって……　あっ、約分できる！　そうすると、

\frac{5}{6} \div 5 = \frac{5}{6} \div \frac{5}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{6}

、答えは

\frac{1}{6}

です。
先生　正解だ。約分もスムーズにできるようになってきたね。
生徒　これで分数の計算はカンペキです。
先生　じゃあ、この問題はどうやって解く？

\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}

生徒　

\frac{分数}{分数}

ですか？　え～っと……。
先生　分数は分母が「わる数」で、分子が「わられる数」なんだ。つまり、

\frac{a}{b} = a \div b

と表すことができる。

\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}

で考えると、aが

\frac{1}{6}

、bが

\frac{2}{3}

になるよね。だから、

\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}

は

\frac{1}{6} \div \frac{2}{3}

と考えることができるんだ。あとは分数のわり算だね。
生徒　

\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

です！
先生　よし、練習問題に取り組んで、応用に入っていこう。
生徒　はい！

練習問題
次の計算をしなさい。なお、約分できるものは約分すること。
（1） $\frac{3}{7} \times \frac{2}{3}$
（2） $\frac{5}{12} \div \frac{5}{6}$
（3） $\frac{8}{15} \div 4$
（4） $\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{3}}$
（5） $\frac{13}{3} \div \frac{4}{5}$
（6） $\frac{5}{7} \times \frac{4}{9}$
（7） $\frac{4}{15} \div \frac{1}{3}$
（8） $\frac{\frac{14}{25}}{\frac{12}{5}}$
（9） $\frac{27}{31} \times 2$
（10） $\frac{\frac{39}{100}}{\frac{78}{500}}$

答
（1） $\frac{3}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{7 \times 3} = \frac{1 \times 2}{7 \times 1} = \frac{2}{7}$
（2） $\frac{5}{12} \div \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{12} \times \frac{6}{1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$
（3） $\frac{8}{15} \div 4 = \frac{8}{15} \div \frac{4}{1} = \frac{8}{15} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{15} \times \frac{1}{1} = \frac{2}{15}$
（4） $\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{15} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{15} \times \frac{3}{1} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{2}{5}$
（5） $\frac{13}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{13}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{65}{12}$
（6） $\frac{5}{7} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{63}$
（7） $\frac{4}{15} \div \frac{1}{3} = \frac{4}{15} \times \frac{3}{1} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{4}{5}$
（8） $\frac{\frac{14}{25}}{\frac{12}{5}} = \frac{14}{25} \div \frac{12}{5} = \frac{14}{25} \times \frac{5}{12} = \frac{14}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{7}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{7}{30}$
（9） $\frac{27}{31} \times 2 = \frac{27}{31} \times \frac{2}{1} = \frac{54}{31}$
（10） $\frac{\frac{39}{100}}{\frac{78}{500}} = \frac{39}{100} \div \frac{78}{500} = \frac{39}{100} \times \frac{500}{78} = \frac{39}{1} \times \frac{5}{78} = \frac{1}{1} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

先生　さて、ここから応用に……。
生徒　先生、普通の計算問題ばかりやっていないで、電気の計算に取り組みたです。電気数学なのに、電気の要素がなくて……。この知識は電験三種で本当に使うんですか？
先生　よし！　ちょうどいい。いままで勉強した知識を使って、電気回路の学習に取り組んでみようか。実際、電気の分野では、どのように分数が扱われているかわかるしね。
生徒　やった！

先生　さて、どうやって解く？
生徒　電流の求め方（1）式のとおりに計算すると、 $I = \frac{V}{R} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} [A] です！$ 先生　そう、正解だ。分数の計算が電気の分野に役立つと少しはわかったかな。今回はここまでにして、次回から練習問題に取り組んでみよう。生徒　はい、ありがとうございました。

（講師／村山慎一）

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