電験取得のための分数の四則演算【電気数学のすゝめ2】

電験取得のための第一歩

2023.08.23

2限目　分数の四則演算

MathMagic Equation – www.mathmagic.com

先生　さて、今回は分数の四則演算に取り組んでみよう。分母の数が等しい分数のたし算とひき算は「分母はそのままで、分子だけ計算する」だよ。生徒　難しいような気がしたけど、やってみるとカンダンだ！先生　うん。そうしたら、たし算の例を下の図で考えてみよう。

\frac{3}{8}

と

\frac{1}{8}

を合わせると、円の半分になるのがわかるよね。

生徒　確かに、半分になっている。 $\frac{1}{2}$ と同じ！
先生　そう。そのまま計算すると $\frac{4}{8}$ になるけど、実は、 $\frac{1}{2}$ と同じことなんだ。このように、一番小さい数の分数に直すことを「約分」っていうんだ。
生徒　 $\frac{4}{8}$ より $\frac{1}{2}$ のほうがイメージしやすいですね。でも、頭のなかで円を考えて計算するのは時間がかかりますよね。何かいい方法はありませんか？
先生　そうだね。方法としては「分子と分母を0以外の同じ数でわる」といいよ。分数は分母と分子を0以外の同じ数でかけても、わっても、大きさは変わらないという性質があるからね。例えば、 $\frac{4}{8}$ の場合、分子と分母は「2」でわれそうだ。そうすると、 $\frac{4 \div 2}{8 \div 2}$ ＝ $\frac{2}{4}$ となるよね。
生徒　 $\frac{2}{4}$ なら、また2でわれそうです。 $\frac{2 \div 2}{4 \div 2}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ですね。
先生　そう、そういうことだ！　それじゃあ、練習問題に取り組んで約分をマスターしよう。

練習問題
次の計算をしなさい。なお、約分できるものは約分すること。
（1） $\frac{1}{9} + \frac{2}{9}$ 　　（2） $\frac{11}{14} - \frac{9}{14}$ 　（3） $\frac{6}{10} - \frac{3}{10}$
（4） $\frac{17}{25} + \frac{2}{25}$ 　（5） $\frac{17}{33} - \frac{6}{33}$ 　（6） $\frac{27}{75} + \frac{8}{75}$
答
（1） $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{1 + 2}{9} = \frac{3}{9}$ （分子と分母を3でわる）＝ $\frac{1}{3}$
（2） $\frac{11}{14} - \frac{9}{14} = \frac{11 - 9}{14} = \frac{2}{14}$ （分子と分母を2でわる）＝ $\frac{1}{7}$
（3） $\frac{6}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6 - 3}{10} = \frac{3}{10}$
（4） $\frac{17}{25} + \frac{2}{25} = \frac{17 + 2}{25} = \frac{19}{25}$
（5） $\frac{17}{33} - \frac{6}{33} = \frac{17 - 6}{33} = \frac{11}{33}$ （分子と分母を11でわる）＝ $\frac{1}{3}$
（6） $\frac{27}{75} + \frac{8}{75} = \frac{27 + 8}{75} = \frac{35}{75}$ （分子と分母を5でわる）＝ $\frac{7}{15}$

先生　約分もマスターしたようだね。よし、次のテーマに入ろう。「 $\frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ ＝？」は解けるかな？
生徒　こんなのカンタンです！　分数のたし算だから、同じように……　あれ？　前の問題と違って分母が同じ数じゃない。どうやって計算すればいいんだろう。分子も分母も、そのままたせばいいのかな？
先生　その方法だとダメなんだ。まずは、分母を同じ数にそろえてあげるんだよ。お互いの分母の数をかけると、すぐに共通の数が出てくるね。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} + \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$

このように、分母を同じ数にすることを「通分」というんだ。ここで重要になるのが「分子と分母の両方に同じ数をかける」ということ。分子と分母に同じ数をかけないと、最初の分数の大きさが変わってしまうからね。さて、早速、トレーニングしてみよう。

練習問題
次の計算をしなさい。なお、約分できるものは約分すること。
（1） $\frac{1}{6} + \frac{1}{7}$ 　　（2） $\frac{1}{8} - \frac{1}{9}$ 　（3） $\frac{8}{14} - \frac{2}{7}$ 　(4） $\frac{6}{12} + \frac{5}{6}$
（5） $\frac{3}{10} - \frac{2}{5}$ 　　（6） $\frac{3}{13} + \frac{3}{4}$ 　（7） $\frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ 　 (8） $\frac{5}{6} - \frac{3}{5}$
答
（1） $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{6 \times 7} + \frac{1 \times 6}{7 \times 6} = \frac{7}{42} + \frac{6}{42} = \frac{13}{42}$
（2） $\frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1 \times 9}{8 \times 9} - \frac{1 \times 8}{9 \times 8} = \frac{9}{72} - \frac{8}{72} = \frac{1}{72}$
（3） $\frac{8}{14} - \frac{2}{7} = \frac{8 \times 7}{14 \times 7} - \frac{2 \times 14}{7 \times 14} = \frac{56}{98} - \frac{28}{98} = \frac{28}{98}$ （分子と分母を14でわる）＝ $\frac{2}{7}$
（4） $\frac{6}{12} + \frac{5}{6} = \frac{6 \times 6}{12 \times 6} + \frac{5 \times 12}{6 \times 12} = \frac{36}{72} + \frac{60}{72} = \frac{96}{72}$ （分子と分母を24でわる）＝ $\frac{4}{3}$
（5） $\frac{3}{10} - \frac{2}{5} = \frac{3 \times 5}{10 \times 5} - \frac{2 \times 10}{5 \times 10} = \frac{15}{50} - \frac{20}{50} = - \frac{5}{50}$ （分子と分母を5でわる）＝ $- \frac{1}{10}$
（6） $\frac{3}{13} + \frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{13 \times 4} + \frac{3 \times 13}{4 \times 13} = \frac{12}{52} + \frac{39}{52} = \frac{51}{52}$
（7） $\frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{3 \times 8}{4 \times 8} + \frac{5 \times 4}{8 \times 4} = \frac{24}{32} + \frac{20}{32} = \frac{44}{32}$ （分子と分母を4でわる）＝ $\frac{11}{8}$
（8） $\frac{5}{6} - \frac{3}{5} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} - \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{25}{30} - \frac{18}{30} = \frac{7}{30}$

生徒　通分すると、分子も分母も数が大きくなるから、計算が大変でした。約分できるかどうかも考えないといけないし……。
先生　実は、もっと計算がラクになる通分の方法があるんだよ。
生徒　ホントですか？　教えてください！
先生　まずは、考えてみてよ。ヒントは約分できた計算問題のなかにあるんだ。
生徒　う～ん。
先生　例えば、練習問題（3）をみてみよう。分母の数で気がつくことはないかな？
生徒　あっ、14は7の倍数だ！
先生　いいところに気がついたね。そう、この問題で通分する場合、次のように分母を14で通分すれば計算がラクになるよ。

$\frac{8}{14} - \frac{2}{7} = \frac{8}{14} - \frac{2 \times 2}{7 \times 2} = \frac{8}{14} - \frac{4}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

生徒　ずいぶんラクになりました。最初から教えてくれたらよかったのに……。
先生　ものごとは順序が大切なんだ。遠回りでも、試行錯誤して答えを導くほうが身につくんだよ。
生徒　は～い。
先生　実は、まだ計算をラクに行う方法があるんだ。次は $\frac{8}{14}$ に注目してみよう。何か気がつかない？
生徒　あっ、2で約分できます！
先生　正解！　だから、練習問題（3）は次のように解くこともできるね。計算する前に約分できるかどうかを確かめると、数字が大きくならないから計算がラクになるよ。

$\frac{8}{14} - \frac{2}{7} = \frac{4}{7} - \frac{2}{7} = \frac{2}{7}$

生徒　ほかの問題でも試してみよう。
先生　それが終わったら、今回の授業はここまでにしよう。
生徒　ありがとうございました。

別解
（4） $\frac{6}{12} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6}$ （2で約分） $+ \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
（5） $\frac{3}{10} - \frac{2}{5} = \frac{3}{10} - \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{3}{10} - \frac{4}{10} = - \frac{1}{10}$
（7） $\frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{11}{8}$

（講師／村山慎一）

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