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電験取得のための計算の基礎【電気数学のすゝめ4】

電験取得のための第一歩

2023.11.03

4限目　合成抵抗の計算その1

先生　前回の授業では分数の四則演算から、実際の電気回路への応用について学習したよね。これは覚えているかな？
生徒　電圧と抵抗の値があって、そこから電流の値を、分数の四則演算を使って求めました。
先生　抵抗が1つ接続された基本的な回路を取り上げたんだよね。まずは、前回の復習だ。練習問題に取り組んでみよう。
練習問題
図1の回路がある。次の値を求めなさい。

MathMagic Equation – www.mathmagic.com

（1）電圧

V＝15V、抵抗R＝5Ωのとき、電流I［A］はいくらか。次の式を使って求めよ。　　

I = \frac{V}{R}

（2）電圧V＝21V、抵抗R＝15Ωのとき、電流I［A］はいくらか。次の式を使って求めよ。
　　

I = \frac{V}{R}

（3）電流

I = \frac{8}{3}

A、抵抗R＝2Ωのとき、電圧V［V］はいくらか。次の式を使って求めよ。
　　

V = I R

（4）電流

I = \frac{16}{7}

A、抵抗

R = \frac{7}{2}

Ωのとき、電圧V［V］はいくらか。次の式を使って求めよ。
　　

V = I R

（5）電圧V＝3V、電流

I = \frac{5}{3}

Aのとき、抵抗R［Ω］はいくらか。次の式を使って求めよ。
　　

R = \frac{V}{I}

（6）電圧

V = \frac{9}{2}

V、電流

I = \frac{17}{4}

Aのとき、抵抗R［Ω］はいくらか。次の式を使って求めよ。
　　

R = \frac{V}{I}

答
（1） $I = \frac{V}{R} = \frac{15}{5} = \frac{3}{1} = 3 [A]$
（2） $I = \frac{V}{R} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} [A]$
（3） $V = I R = \frac{8}{3} \times 2 = \frac{8}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{16}{3} [V]$
（4） $V = I R = \frac{16}{7} \times \frac{7}{2} = \frac{16}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{8}{1} \times \frac{1}{1} = 8 [V]$
（5） $R = \frac{V}{I} = \frac{3}{\frac{5}{3}} = 3 \div \frac{5}{3} = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5} [Ω]$
（6） $R = \frac{V}{I} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{17}{4}} = \frac{9}{2} \div \frac{17}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{4}{17} = \frac{9}{1} \times \frac{2}{17} = \frac{18}{17} [Ω]$

先生　さて、次はもう少し難しい問題にチャレンジしてみようか。
生徒　さっきは抵抗が1つだったから、そのまま式に代入したんだけど……。
先生　1つの抵抗のときは簡単に計算できたんだから、この場合も同じように2つの抵抗を1つの抵抗にして計算してみたらどうかな？
生徒　抵抗が1つになれば計算できます。でも、どうやって2つの抵抗を1つにするんですか？
先生　直列回路の場合、それぞれの抵抗をたすだけで求められるよ。
生徒　たすだけ？
先生　そう。2つ以上の抵抗が接続されているとき、これらの抵抗を1つの抵抗にまとめたものを合成抵抗というんだ。それでは、具体的に図2の直列回路の合成抵抗を求めてみよう。
生徒　それぞれの抵抗をだすだけだから、合成抵抗 $R = R_{1} + R_{2} = 60 + 30 = 90 [Ω]$ ってことかな（図3）。どうですか？
先生　そう！　あとは電流を求める式に代入すればいいんだね。
生徒　電流 $I = \frac{V}{R} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} [A]$
先生　うん、正解だ！　「直列回路の合成抵抗＝それぞれの抵抗をたす」と覚えておこう。それじゃあ、練習問題を解いて今回は終わりにしよう。次回は並列回路の合成抵抗を取り上げるよ。
生徒　はい、ありがとうございました。

練習問題
次の図の端子間の合成抵抗Rを求めなさい。

答
（1）

R = R_{1} + R_{2} = 15 + 30 = 45 [Ω]

（2）

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 10 + 5 + 5 = 20 [Ω]

（3）

R = R_{1} + R_{2} = 4 + 8 = 12 [Ω]

（4）

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 3 + 4 + 8 = 15 [Ω]

（5）

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{2} = \frac{3 + 5}{2} + \frac{2}{3} = \frac{8}{2} + \frac{2}{3} = \frac{4}{1} + \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3}{1 \times 3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} [Ω]

（6）

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = \frac{1}{5} + \frac{5}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} + \frac{5 \times 5}{4 \times 5} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} + \frac{25}{20} + \frac{1}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} [Ω]

練習問題
次の回路の電流I［A］はいくらか。

I = \frac{V}{R}

を使って求めよ。

答
（1）合成抵抗Rは、

R = R_{1} + R_{2} = 5 + 10 = 15 [Ω]

　したがって、電流Iは、

I = \frac{V}{R} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} [A]

（2）合成抵抗Rは、

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 3 + 7 + 5 = 15 [Ω]

　したがって、電流Iは、

I = \frac{V}{R} = \frac{30}{15} = 2 [A]

（講師／村山慎一）

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